مطلوبیت کل و مطلوبیت نهایی

یک فرد کالای خاص را بدین سبب تقاضا می کند که مصرف آن کالا برای او رضایت یا مطلوبیت حاصل می کند. هر قدر واحدهایی از یک کالا که مورد مصرف فرد در واحد زمان قرار می گیرد بیشتر باشد مطلوبیت کلی هم که او به دست می آورد بیشتر است. در نتیجه مطلوبیت کل افزایش می یابد اما مطلوبیت اضافی یا مطلوبیت نهایی به دست آمده از مصرف هر واحد اضافی از کالا معمولا کاهش می یابد. در بعضی از سطوح مصرف مطلوبیت کل فرد که ناشی از مصرف کالایی می باشد به حداکثری خواهد رسید و در همین سطح، مطلوبیت نهایی او صفر خواهد بود.. این سطح را نقطه اشباع می گویند. مصرف واحدهای اضافی از کالا باعث کاهش مطلوبیت کل و منفی شدن مطلوبیت نهایی می گردد.( سالواتوره، دومینیک، 1383،ص 995

اگر دو کالا را x و y در نظر بگیریم در این صورت تابع مطلوبیت به شکل  U( x,y) می باشد. شکل 2-4 تابع مطلوبیت U( x,y)  را در یک نمودار سه بعدی نشان می دهد. در این نمودار مقادیر x,y روی محورهایی اندازه گیری شده اند که در صفحه افقی قرار دارند، مطلوبیت نیز بر حسب یوتیل و روی محور عمود بر صفحه سنجیده می شود. باید توجه نمود که ما اینجا با یک سطح مطلوبیت سرو کار داریم و هرچه مقدار کالاها را افزایش دهیم این سطح نیز بالا می رود.

تئوری مطلوبیت

رضایت مصرف کننده که از مصرف کالاها و خدمات حاصل می شود، به وسیله اقتصاددانان مطلوبیت نامیده می شود.

واژه مطلوبیت اولین بار به وسیله پروفسور جرمی بنتام انگلیسی مطرح گردید. در هر حال نه وی و نه اقتصاددانان هم عصر وی رابطه ی بین ارزش کالا و مطلوبیتی که از مصرف کالا حاصل می شود را درک نکرده اند( فرجی، یوسف، 1378، ص 80 ).

آدام اسمیت رابطه ی بین ارزش استفاده ای و ارزش مبادله ای کالا را تشخیص داد و مثال معروفش را در مورد آب و الماس بیان نمود. بدین ترتیب که الماس قیمت ( ارزش مبادله ای ) بالایی دارد اما ارزش آن برای زندگی کم است، این در حالی است که آب قیمت ( ارزش مبادله ای ) کمی دارد اما برای زندگی بسیار ضروری است و ارزش استفاده ای بسیار بالایی دارد(فرجی، یوسف، 1378، ص 80 ).

2-5-2) نظریه کاردینالی مطلوبیت

تئوری کاردینالی مطلوبیت حاکی از آن است که مطلوبیت هم درست مثل قیمت و مقدار اندازه گیری می شود. به این معنی که می توانیم مقدار مطلوبیت هر کالا را تعیین کنیم. در این نظریه هم مطلوبیت کل و هم مطلوبیت نهایی قابل اندازه گیری است. اقتصاددانانی که معتقد به کاردینالی بودن مطلوبیت بودند را می توان به دو گروه تفکیک نمود:

1-   آنهایی که معتقد به جمع پذیر بودن مطلوبیت بودند

2-   آنهایی که معتقد به جمع پذیر بودن مطلوبیت نبودند.

2-5-3) نظریه اردینالی مطلوبیت

تئوری اردینالی مطلوبیت حاکی از آن است که مطلوبیت مثل قیمت و مقدار قابل اندازه گیری نیست، اما این امکان وجود دارد که یک نفر کالاهای مختلف را از نظر مطلوبیت رتبه بندی نماید به این معنی که بر اساس این تئوری اگر چه نمی توان گفت که مطلوبیت یک کالا چقدر است، اما این امکان وجود دارد که بگوییم مطلوبیت کالای A از B بیشتر است و بر عکس. نکته ای که ذکر آن ضروری به نظر می رسد آن است که قانون نزولی بودن مطلوبیت نهایی، هم در مورد کاردینالی بودن مطلوبیت و هم در رابطه با اردینالی بودن مطلوبیت صدق می کند(فرجی، یوسف، 1378، ص 80 ).

2-5-4) مطلوبیت کل و م

الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک ماتریس

با توجه به قضایای 1 تا 3 و نتایج آنها نرخ ناسازگاری هر ماتریس را طبق مراحل زیر می توان بدست آورد :

1-   ماتریس مقایسه زوجی A  را تشکیل دهید.

2-   بردار وزن ( w ) را مشخص نمایید.

3- آیا بزرگترین مقدار ویژه ماتریس A ( یعنیmaxλ ) مشخص است؟ اگر پاسخ مثبت است به قدم چهارم بروید در غیر اینصورت با توجه به قدم های زیر مقدار آن را تخمین می زنیم :

- با ضرب بردار w در ماتریس A، تخمین مناسبی از.w maxλ بدست می آید زیرا :

max.wλ=A.w

- با تقسیم مقادیر بدست آمده برای.w maxλ بر w مربوطه تخمین هایی از maxλ محاسبه می شود.

- متوسط maxλ های بدست آمده محاسبه می گردد.

4- مقدار شاخص ناسازگاری ( I.I.  ) محاسبه می گردد.

Max-n/n-1λ=I.I.

5- نرخ ناسازگاری ( I.R.  ) محاسبه می گردد.

I.R.=I.I./I.I.R.

2-2-3-4)الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی

برای محاسبه ی نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی، شاخص ناسازگاری هر ماتریس ( I.I.) را در وزن عنصر مربوطه اش ( یعنی عنصری که ماتریس در مقایسه با آن ساخته شده است ) ضرب نموده و حاصل جمع آنها را بدست می آوریم. این حاصل جمع را Ī.Ī می نامیم. همچنین وزن عناصر را در I.I.R. ماتریسهای مربوطه ضرب کرده و مجموعشان را Ř نامگذاری می کنیم. حاصل تقسیم Ř Ī.Ī/   نرخ ناسازگاری سلسله مراتبی را نشان می دهد.

2-4) سیستمهای غیر خطی یا شبکه ها

طبق اصل سوم فرآیند تحلیل سلسله مراتبی در یک سلسله مراتبی باید وابستگی ها به صورت خطی از بالا به پایین و یا بالعکس باشد. چنانچه وابستگی دو طرفه بوده یعنی وزن معیارها به وزن گزینه ها و وزن گزینه ها نیز به وزن معیارها وابسته باشد، مسئله دیگر از حالت سلسله مراتبی خارج شده و تشکیل یک شبکه یا سیستم غیر خطی را می دهد که در این صورت برای محاسبه وزن عناصر نمی توان از قوانین و فرمولهای سلسله مراتبی استفاده کرد، زیرا با اصل سوم فرآیند تحلیل سلسله مراتبی مغایرت پیدا می کند. در این حالت برای محاسبه ی وزن عناصر باید از تئوری شبکه ها استفاده نمود. شکل 2-2 نمونه ای از یک سلسله مراتبی و نمونه ای از یک شبکه را نشان می دهد.

) روش حداقل مربعات

در صورتی که ماتریس A سازگار باشد مقدار عددی aij برابر با wi / wj می شود اما در عمل کمتر اتفاق می افتد که ماتریس مزبور سازگار باشد و عموما A یک ماتریس ناسازگار است.

در روش حداقل مربعات wi، wj به گونه ای محاسبه می شوند که wi، wj و aij حداقل گردد، به عبارت دیگر در حالت کلی می توان گفت :

در حالت سازگاری ( به ازای کلیه i و j ها )                    aij = wi / wj یاwi = aij wj

در حالت نا سازگاری ( حداقل برای یک i و j )              aij ≠  wi / wj یاaij wj  ≠ wj

در این روش سعی بر این است که wi و wj به گونه ای تعیین شوند که اختلاف wi / wj با aij ها حداقل گردد. به عبارت دیگر، سیستم به حالت سازگاری نزدیکتر شود. بنابراین برای محاسبه wi و wj باید برنامه ریزی غیر خطی زیر حل گردد :

( a )         MINIZ=∑∑( aij wj – wi )ˆ2

∑wi = 1

لازم به ذکر است در برنامه ریزی غیر خطی فوق محدودیت 0  wi ≥ نیز باید در نظر گرفته شود البته می توان مسئله را بدون در نظر گرفتن این محدودیت حل نمود و سپس آن را اعمال نمود. برای حل مسئله فوق، معادله لاگرانژی آن بصورت زیر در نظر گرفته میشود:

L=∑∑(aijwj-wi)^2+2λ[∑wi-1]     (b)

اگر از معادله فوق نسبت به wi مشتق بگیریم خواهیم داشت :

(c)     ∑(aijwj-wi)aij-∑(aijwj-wi)+λ=0

از روابط ( a ) و ( c ) به تعداد ( 1n +   ) معادله خطی نا همگن و ( 1  n + ) مجهول بدست می آید به عنوان مثال اگر 2n =  باشد داریم :

(a11^2+2a11+2)w1-(a12+a21)w2+ λ=0

-(a21+a12)w1+(a12^2-2a12+a22^2+2)w2+ λ=0

w1+w2=1مقدار متغیرهای w1، w2 و λ  را می توان با حل معادلات فوق بدست آورد.

2-2-2-1-2) روش حداقل مربعات لگاریتمی

در این روش سعی می شود که حاصل ضرب اختلافات و یا به عبارتی میانگین هندسی اختلافات حداقل گردد یعنی در حالتهای سازگاری و نا سازگاری داریم :

aijwj/wi =1 «aij=wi/wj 

aijwj/wi ≠1 «aij≠wi/wj 

میانگین هندسی این اختلافات برابر است با :

[ππaijwj/wi]^1/n^2=z^1/n^2

بنابراین می توان گفت که در حالت سازگاری میانگین هندسی اختلافات برابر 1 است و لگاریتم آن برابر صفر خواهد بود و در حالت ناسازگاری هر چه میانگین هندسی به 1 نزدیکتر باشد بهتر است و به عبارتی دیگر:

در حالت سازگاری   ∑∑(lnaij-ln(wi/wj))=0

        درحالت ناسازگاری      

1/n^2∑∑(lnaij-ln(wi/wj))=1/n^2lnz

از آنجا که عبارت داخل پرانتز ممکن است در بعضی موارد مثبت و در بعضی موارد منفی باشد آنرا به توان 2 می رسانیم تا همواره مثبت گردد. پس در این روش باید برنامه ریزی زیر حل گردد :

Minz= ∑∑(lnaij-ln(wi/wj))^2

Sto:                                     

∑wi=1                                

                                wi≥0                                   i=1,2,3,………..,n    

محاسبه وزن در فرایند تحلیل سلسله مراتبی

محاسبه وزن در فرایند تحلیل سلسله مراتبی در دو قسمت جداگانه مورد بحث قرار می گیرد :

-وزن نسبی

-وزن نهایی

وزن نسبی از ماتریس مقایسه زوجی بدست می اید در حالیکه وزن مطلق رتبه ی نهایی هر گزینه می باشد که از تلفیق وزن های نسبی محاسبه می گردد.

2-2-2-1) روش های محاسبه وزن نسبی

در فرایند تحلیل سلسله مراتبی ابتدا عناصر به صورت زوجی مقایسه شده و ماتریس مقایسه زوجی تشکیل می گردد سپس با استفاده از این ماتریس وزن نسبی عناصر محاسبه می گردد.

بطور کلی، یک ماتریس مقایسه زوجی به صورت زیر نشان داده می شود که در ان aij ترجیح عنصر i  ام به عنصر j  ام است که با توجه به مقدار aij ها وزن عناصر یعنی wi ها بدست می آید.

هر ماتریس مقایسه زوجی ممکن است سازگار و یا نا سازگار باشد در حالتی که این ماتریس سازگار باشد محاسبه وزن ( wi ) ساده بوده و از نرمالیزه کردن عناصر هر ستون بدست می اید. اما در حالتی که ماتریس ناسازگار باشد محاسبه وزن ساده نبوده و برای بدست اوردن ان 4 روش عمده مطرح شده، که عبارت اند از :

-        روش حد اقل مربعات (  Least Squares Method)

-        روش حد اقل مربعات لگاریتمی  Logarithmic Least Squares Method )

-        روش بردار ویژه (  Eigenvector Method)

-        روش های تقریبی (  Aproximation Methods)